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By Jürgen Neukirch

Algebraische Zahlentheorie: eine der traditionsreichsten und aktuellsten Grunddisziplinen der Mathematik. Das vorliegende Buch schildert ausführlich Grundlagen und Höhepunkte. Konkret, smooth und in vielen Teilen neu. Neu: Theorie der Ordnungen. Plus: die geometrische Neubegründung der Theorie der algebraischen Zahlkörper durch die "Riemann-Roch-Theorie" vom "Arakelovschen Standpunkt", die bis hin zum "Grothendieck-Riemann-Roch-Theorem" führt.

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LJ eine Erweiterung des Körpers ojp ist und daher selbst ein Körper sein muß, weil er sonst ein von Null verschiedenes Primideal besäße, dessen Durchschnitt mit ojp wiederum ein von Null verschiedenes Primideal von ojp wäre. Bleibt zu zeigen, daß 0 noethersch ist. In dem uns hauptsächlich interessierenden Fall, daß LIK separabel ist, ist der Beweis sehr leicht. Ist a1, ... , an eine in 0 gelegene Basis von LIK mit der Diskriminante d = d(ab ... 9) liegt 0 in dem endlich erzeugten o-Modul oadd + · · · + oanfd.

Sei dazu V E V. Wegen V= u')'Er(M + 'Y) können wir für jedes 1/ E 1N schreiben 1/V = av + 'Yv ' av E 'Yv M ' E r ~ Vo . Da M beschränkt ist, ist ~av eine Nullfolge, und es folgt wegen der Abgeschlossenheit von Vo, V . -av 1 = l1m V-+00 1/ + l"1m -'Yv 1 = l"1m -'Yv 1 V-+00 1/ V-+00 1/ E Vro . 0 Sei jetzt V ein euklidischer Vektorraum, also ein 1R-Vektorraum endlicher Dimension n mit einer symmetrischen, positiv definiten Bilinearform (, ):VxV---+1R. Auf V haben wir dann einen Volumenbegriff- genauerein Haarsches Maß.

Aufgabe 3. Seid quadratfrei und p eine zu 2d teilerfremde Primzahl. Sei o der Ring der ganzen Zahlen von

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